Теорија вероватноће. Вероватноћа неког догађаја, повремено догађају (вероватноћа). Независни и некомпатибилни кретања у теорији вероватноће

Мало је вероватно да су многи људи мисле да је могуће да рачунају догађаје, који у извесној мери случајне. Да га стави у једноставним речима, да ли је реално да се зна са које стране коцке на коцкице пасти следећи пут. Било је то питање које треба поставити две велике научнике, поставио темеље за ове науке, теорију вероватноће, вероватноћу догађаја у којем је студирао довољно широко.

генерација

Ако покушате да дефинишете такав концепт као теорију вероватноће, добијамо следеће: ово је једна од грана математике која проучава константност случајних догађаја. Јасно, овај концепт стварно не открива суштину, тако да је потребно да се узме у обзир више детаља.

Желео бих да почнем са оснивача теорије. Као што је горе поменуто, било је два, да Пер Ферма и Блез Паскал. Они су били први покушај коришћења формула и математичке прорачуне за израчунавање исход догађаја. У принципу, рудиментног ове науке је чак у средњем веку. Док разни мислиоци и научници су покушали да анализирају казино игре као што су рулет, црапс, и тако даље, тако да се успостави модел, а проценат губитка великог броја. Фондација је такође постављен у КСВИИ веку било је поменути научници.

У почетку, њихов рад се не може приписати великим достигнућима у овој области, на крају крајева, шта су урадили, они су једноставно емпиријске чињенице и експерименти су очигледно без употребе формула. Временом се показало да постигне велике резултате, који се појавио као резултат посматрања глумцима костију. То је овај инструмент је помогао да донесе прву посебну формулу.

pristalice

Да не помињемо човек као што Кристијан Хајгенс, у процесу проучавања предмет који носи назив "теорије вероватноће" (вероватноћа догађаја обележава у овој науци). Ова особа је веома интересантно. Он је, као и научници који су овде изнети суди у облику математичких формула за закључим образац случајних догађаја. Важно је напоменути да није га поделим са Пасцал и Фермат, то је све његов рад не поклапа са оним умовима. Хуигенс изведене основне концепте теорије вероватноће.

Занимљив податак је да је његов рад је много пре резултатима дела пионира, да будемо прецизни, двадесет година раније. Постоје само међу концептима идентификоване су:

• као концепт вероватноће вредности срећу;
• очекивање у дискретном случају;
• теореме сабирања и множења вероватноће.

Исто тако, не може се заборавити Иакоба Бернули, који је такође допринео проучавању проблема. Кроз своје, од којих нису ни независни тестови, био је у стању да обезбеди доказ о закону великих бројева. Заузврат, научници Рибе и Лаплас, који је радио у раном деветнаестом веку, били у стању да докаже оригинални теорему. Од тог тренутка да анализира грешке у запажања почели да користимо теорију вероватноће. Парти око ове науке не може и руски научници, а Марков Цхебисхев и Диапунов. Они су засновани на обављеном послу великих генија, обезбедио субјект као грану математике. Ми смо радили ове цифре крајем деветнаестог века, и захваљујући њиховом доприносу, су доказане појаве као што су:

• закон великих бројева;
• Теорија Марков ланаца;
• Централна граница теорема.

Дакле, историја рођења науке и са главним личностима који су допринели томе, све је више или мање јасно. Сада је време да се месо од све чињенице.

основни појмови

Пре него што додирнете закони и теореме треба да науче основне појмове теорије вероватноће. Догађај заузима доминантну улогу. Ова тема је прилично широка, али неће бити у стању да разуме све остало без њега.

Догађај у теорији вероватноће - то Сваки скуп исхода експеримента. Концепти овог феномена не постоји довољно. Тако, Лотман научник који ради у овој области, изразио је у овом случају говоримо о томе шта "догодило, иако то није могло да се деси."

Рандом догађаји (теорија вероватноће посебну пажњу на њих) - представља концепт који подразумева апсолутно никакав феномен који има могућност да се дешавају. Или, напротив, овај сценарио не може десити у обављању различитим условима. Такође је вредно помена да заузимају цео обим феномена који се дешавају само случајне догађаје. теорија вероватноће сугерише да се сви услови да се стално понавља. То је њихово понашање је назвао "искуство" или "тест".

Значајан догађај - ово је појава која је сто посто у овом тесту се деси. Сходно томе, немогуће догађај - ово је нешто што се не догоди.

Комбиновање парова Ацтион (обично случај А и случај Б) је феномен који се јавља истовремено. Они се називају АБ.

Износ парова догађаја А и Б - Ц је, другим речима, уколико најмање један од њих ће (А или Б), добијате Ц. формула описана појава пише као Ц = А + Б

Некомпатибилне дешавања у теорији вероватноће подразумева да су два случаја су међусобно искључују. Истовремено, они су у сваком случају не може да дође. Заједнички догађаји у теорији вероватноће - то је њихов антипод. Подразумева се да уколико је било, то не спречава Ц

Супротстављања догађај (теорија вероватноће да их сматра веома детаљно), су лако разумети. Најбоље је да се са њима у поређењу. Они су скоро исте као неспојиве дешавања у теорији вероватноће. Међутим, њихова разлика је да је један од више појава у сваком случају треба да се десе.

Исто тако вероватно догађаји - те акције, могућност понављања једнака. Да би било јасно, можете замислити бацања новчића: губитак једног од својих стране једнако је вероватна губитак друге.

лакше је узети у обзир пример фаворизује догађај. Претпоставимо да је епизода у епизоди А. први - ролна калуп са појавом непарним бројем, а други - Појава броја пет на коцкице. Онда се испостави да је А фаворит В

Независни догађаји у теорији вероватноће су пројектовани само на два или више пута и укључити независно од било какве акције од другог. На пример, А - ат губитака таилс новчића бацање, и Б - доставание прикључка са палубе. Они имају независне догађаје у теорији вероватноће. Од тог тренутка постало јасно.

Зависни догађаји у теорији вероватноће је такође дозвољена само за њихов скуп. Они подразумевају зависност једног на други, да је, феномен се може десити у само у случају када А је већ дошло или, напротив, није догодило када је - главни услов за Б.

Исход случајног експеримента који се састоји од једне компоненте - То је основно догађаја. теорија вероватноће каже да је појава која се обавља само једном.

основна формула

Тако, горе су сматрали концепт "догађаја", "теорије вероватноће", дефиниције кључних термина ове науке је такође дат. Сада је време да се упознају са важним формулама. Ови изрази су математички потврдио све главне концепте у тако тешкој теми, као теорије вероватноће. Вероватноћа неког догађаја и игра велику улогу.

Боље да почне са основним формулама комбинаторике. И пре него што их почнете, вреди с обзиром шта је то.

Комбинаторика - је пре свега грана математике, он је проучава огроман број целих и разних пермутација оба броја и њихових елемената, разних података, итд, што је довело до великог броја комбинација ... Поред теорије вероватноће, ова индустрија је важна за статистику, рачунарске науке и криптографије.

Дакле, сада можете прећи на представљању себе и своје дефиниције формула.

Први од њих је израз за број пермутација, то је као што следи:

П_н = Н ⋅ (Н - 1) ⋅ (Н - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = Н!

Једначина важи само у случају ако су елементи разликују само у редоследу аранжмана.

Сада постављање формула изгледа овако ће се сматрати:

А_н ^ М = н ⋅ (Н - 1) ⋅ (Н-2) ⋅ ⋅ ... (Н - М + 1) = Н! : (Н - м)!

Тај израз се примењује не само на једини елемент налога пласмана, већ и његовог састава.

Трећи Једначина комбинаторике, а то је друго, назван формулу за број комбинација:

Ц_н ^ М = н! : ((Н - м))! : П!

Комбинација назива узорковање, који нису наредили, односно, да и примењује ово правило.

Са формуле за комбинаторике је лако разумети, сада може ићи на класичну дефиницију вероватноће. Изгледа да је овај израз као што следи:

П (А) = М: Н.

У овој формули, м - број услова који омогућавају догађаја А и н - број равноправно и потпуно свим основним догађаја.

Постоје многи изрази у тексту неће се сматрати све само не утиче ће бити најважније, као што је, на пример, вероватноћа догађаја износи:

П (А + Б) = П (А) + П (Б) - ова теорема за додавање само међусобно искључиве догађаја;

П (А + Б) = П (А) + П (Б) - П (АБ) - али то је само за додавање компатибилни.

Вероватноћа радова догађаја:

П (А ⋅ Б) = П (А) ⋅ П (Б) - ова теорема независне догађаје;

(П (А ⋅ Б) = П (А) ⋅ П (Б | А); П (А ⋅ Б) = П (А) ⋅ П (А | Б)) - и то из зависна.

Ендед листа догађаја формуле. Теорија вероватноће нам каже теорему Бајеса, која изгледа овако:

Н (Х_м | Б) = (н (Х_м) н (а | Х_м)): (Σ_ (К = 1) ^ Н н (Х_к) н (а | Х_к)), М = 1, ..., n

У овој формули, Х _1, Х _2, ..., Х н _- комплект хипотеза.

У овом стоп, апликација узорци формуле ће сада бити узети у обзир за специфичне задатке из праксе.

примери

Ако сте пажљиво проучити сваку грану математике, није без вежби и решења узорака. И теорија вероватноће: догађаја, примери овде су саставни потврђивања научне прорачуне.

Формула за број подстановок

На пример, у палубе картице имају тридесет картице, почевши од номиналне. Следеће питање. На колико начина да се превија шпил, тако да се картице са номиналном вредношћу од једног и два нису се налази поред?

Задатак је постављена, сада идемо на да се тиме бави. Прво треба да утврди број пермутација од тридесет елемената, за ту сврху узимају горњу формулу, испоставило П_30 = 30!.

На основу овог правила, знамо колико опције постоје да постави на палубу на много начина, али мора да се одузме од њих су они у којима је први и други картица ће бити следећи. Да би то урадили, почните са варијантом, када је први пут се налази на другом. Испоставило се да је прва карта може да двадесет и девет места - од првог до двадесет деветог, а друга картица из другог до тридесет, постаје двадесет девет места за парова карата. Заузврат, остали могу да двадесет осам места, а у било ком редоследу. То је, за преуређење од двадесет осам карата су двадесет и осам опције П_28 = 28!

Резултат је да, ако узмемо у обзир одлуку, када је први пут картица на другом додатном прилику да се 29 ⋅ 28! = 29!

Користећи исти метод, потребно је да израчуна број вишка опција за случај када је први пут картица налази испод секунде. Такође, добила 29 ⋅ 28! = 29!

Из овога следи да додатни опције 2 ⋅ 29!, А потребна средства за прикупљање палубу 30! - 2 ⋅ 29!. Остаје само да се израчуна.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Сада морамо да се размножавају заједно све бројеве од један до двадесет девет, а онда на крају све помножи са 28. Одговор добијен 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Примери решења. Формула за број смештаја

У овом проблему, морате да сазнате колико постоје начини да се стављају петнаест томова на полици, али под условом да само тридесет томова.

У овом задатку, одлука мало лакше него претходне. Користећи већ познати формулу, потребно је да се израчуна укупан број од тридесет локација петнаест запремине.

А_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ⋅ 28⋅ ... (30 - 15 +1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... = 202 843 16 204 931 727 360 000

Одговор, односно, биће једнака 202 843 204 931 727 360 000.

Сада се задатак мало теже. Треба да знате колико постоје начини да се организују тридесет-две књиге на полицама, под условом да само петнаест количине могу да се налазе на истом полици.

Пре почетка одлуке жели да појасни да су неки од проблема може се решити на неколико начина, а то постоје два начина, али у оба једна те иста формула се примењује.

У овом задатку, може да се одговор из претходног, јер ту смо израчунали колико пута можете попунити полице за петнаест књига на различите начине. Испоставило А_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... 16.

Друга регимента израчунава формулом реконструкције, јер је постављена петнаест књига, док остатак од петнаест. Ми користимо формулу П_15 = 15!.

Испоставило се да је тај износ ће А_30 ^ 15 ⋅ П_15 начине, али, поред тога, производ свих бројева од тридесет до шеснаест би се множи са производом бројева од један до петнаест, на крају испадну производ свих бројева од један до тридесет, то је одговор је 30!

Али тај проблем се може решити на другачији начин - лакше. Да бисте то урадили, можете замислити да постоји једна полица за тридесет књига. Сви они налазе се на овом плану, већ зато што је услов захтева да постоје две полице, једна дуга смо тестерисање на пола, два наврата петнаест. Из овога испада да за овај аранжман може бити П_30 = 30!.

Примери решења. Формула за број комбинација

Ко се сматра варијанта трећег проблема комбинаторике. Треба да знате колико начина постоје организовати петнаест књига о стању да морате изабрати из тридесет потпуно исти.

За одлуку ће, наравно, важе формулу за број комбинација. Од условом да постаје јасно да је редослед истих петнаест књига није важно. Дакле, прво морате да сазнате укупан број комбинација тридесет петнаест књига.

Ц_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

То је све. Помоћу ове формуле, у најкраћем могућем року да реши такав проблем, одговор, односно, једнако 155,117,520.

Примери решења. Класична дефиниција вероватноће

Користећи формулу дату у претходном тексту, може се наћи одговор на једноставан задатак. Али то ће јасно видети и пратити ток акције.

Задатак с обзиром да је у урни има десет потпуно идентичне кугле. Од тога, четири жута и шест плаво. Преузето из урне једне лопте. Неопходно је знати вероватноћу доставанииа плаво.

Да би се решио овај проблем потребно је одредити доставание Блуе Балл догађаја А. Ово искуство може имати десет исходе, који, заузврат, основно и једнако вероватно. Истовремено, шест од десет су повољнији за догађај О Решите следећу формулу:

П (А) = 6: 10 = 0,6

Применом овог обрасца, научили смо да је могућност доставанииа плаве лопте је 0,6.

Примери решења. Вероватноћа догађаја износа

Ко ће бити варијанта која се решава коришћењем формулу вероватноће догађаја износа. Дакле, с обзиром на стање које постоје два случаја, прва је сива и пет беле кугле, док је други - осам сива и четири беле кугле. Као резултат тога, први и други кутије су се на једном од њих. Неопходно је да сазнамо какве су шансе да нису имали муда су сиве и беле.

Да би се решио овај проблем, потребно је да се идентификује догађај.

• Према томе, - имамо сиву лопту прве кутије: П (а) = 1/6.
• А "- бели сијалица и преузет из прве кутије: Д (А") = 5/6.
• Тхе - Већ екстрахује сиви лопта другог пролаза: П (Б) = 2/3.
• Б "- је сиви лопту другог фиоке: П (Б) = 1/3.

Према проблема неопходно је да је један од феномена догодило: АБ "или" Б. Користећи формулу, добијамо: П (АБ ') = 1/18, П (А'Б) = 10/18.

Сада је коришћена формула множи вероватноћу. Даље, да сазнамо одговор, треба да примене своје једначину додаје:

П = П (АБ '+ А'Б) = П (АБ') + П (А'Б) = 11/18.

Тако, користећи формулу, можете решити такве проблеме.

резултат

У раду је представљен информације о "теорији вероватноће", вероватноће догађаја који играју важну улогу. Наравно, не све је размотрити, али на основу текста представљен, теоријски може се упознати са овом грану математике. Сматра наука може бити корисна не само у професионалном послу, али иу свакодневном животу. Можете га користити за израчунавање било какву могућност догађаја.

Текст је такође погођена значајним датумима у историји развоја теорије вероватноће као науке, као и имена људи чија дела су стављена у њу. Тако људска радозналост довела је до тога да су људи научили да броје, чак и случајне догађаје. Када су само заинтересовани за ово, али данас је већ познато свима. И нико не може да каже шта ће се десити са нама у будућности, шта други сјајни открића у вези са теоријом разматра, бити почињени. Али једна ствар је сигурна - студија још није вредно тога!