Геометријска прогресија и његове особине

Геометријска прогресија је важно у математици као науци, и примењује значај, јер има изузетно широк опсег, чак иу вишим математике, на пример, у теорији серије. Први подаци о напретку је дошао код нас из древног Египта, нарочито у облику познатог проблема са Рхинд папируса седам особа са седам мачака. Варијације овог задатка су више пута понавља у различитим временским периодима од других народа. Чак и Великиј Леонардо Пизански, познат као Фибонацци (КСИИИ в.), Обратио јој се у свом "Књизи Абацус."

Тако да је геометријска прогресија има древну историју. Представља нумеричке секвенцу са нуле први елемент, а сваки следећи, почевши са другом се одређује множењем претходног понављања формуле при константној, нуле броју који се зове називник прогресија (обично одређена користећи слова к).
Очигледно, може се наћи тако што сваки наредни рок секвенце са претходним, тј з 2: з 1 = ... = зн: з н-1 = .... Сходно томе, за већину посла прогресију (Зн) довољном да зна вредност првог полугодишта именилац и и 1 к.

На пример, з 1 = 7, к = - 4 (к <0), а затим следећи геометријска прогресија добија 7 - 28, 112 - 448, .... Као што можете да видите, резултат секвенца није досадан.

Подсетимо да је произвољно низ монотоно (растуће / опадајуће) када један од њених чланова фоллов више / мање од претходног. На пример, секвенца 2, 5, 9, ..., и -10, -100, -1000, ... - Монотоне, друга - опадајући геометријска прогресија.

У случају где је к = 1, сви чланови су нашли да су, и то се зове константа прогресија.

Секвенца је била прогресија ове врсте, мора да задовољи следећи потребан и довољан услов, наиме: почевши са другим, сваки од њених чланова треба да буде геометријска средина суседних чланова.

Ово својство омогућава под одређеним два суседна утврђивање произвољна рок прогресију.

н-тх терм експоненцијално лако пронаћи по формули: зн = з 1 * к ^ (н-1), з знајући први члан 1 а именилац к.

Пошто број секвенце има суму, затим неколико једноставних калкулације нам формулу за израчунавање суму првог прогресије чланова, и то:

С н = - (зн * к - з 1) / (1 - к).

Замена, у формули свом изразу вредности зн з 1 * к ^ (н-1) да се добије други збир формулу прогрессион: С н = - з1 * (к ^ н - 1) / (1 - к).

Да ли је вредно пажње следеће занимљива чињеница: таблета глина налази у ископинама старог Вавилона, који се односи на ВИ. Пне, садржи изванредан начин суму од 1 + 2 + ... 22 + 29! Једнак 2 до десетог минус напајање 1. објашњење овог феномена још није пронађен +.

Напомињемо један од својстава геометријском прогресијом - константним радом њених чланова, распоређених у једнаким растојањима од крајева секвенце.

Од посебног је значаја са научне тачке гледишта, таква ствар као бесконачном геометријском прогресијом и израчунавање њене висине. Под претпоставком да је (ин) и - што је геометријска прогресија има именитељ к, задовољава услов | К | <1, његов износ ће бити упућени на граници према којој смо већ знали суму својих првих чланова, уз неограничену повећање н, онда су на њега приближава бесконачност.

Тај износ као резултат коришћења формулу:

С н = и 1 / (1- к).

И, како је показало искуство, за очигледне једноставности ове прогресије је сакривен огроман потенцијал апликације. На пример, ако конструисати низ квадрата према следећој алгоритма, повезује средишта претходног, онда формирају квадрат бесконачан геометријски прогресију која има именитељ 1/2. Исти образац прогресија и површине троуглова, добијеног у свакој фази изградње, а његова сума једнака области оригиналног квадрата.